"Matematik hakkında yazabilmek için; güzellik, doğruluk ve gerçeklik tek tek ele alınmalıdır"

Einstein'e göre matematik aklın (Zekanın) kendisidir. Elbette ki matematik zekanın bir ürünüdür. Ancak zekayı destekleyen, onu geliştiren daha da önemlisi zekayı ve onun ürünü olan düşünce yapısını sistemleştiren en önemli etken matematik olduğunu söyleyebiliriz. Robert Stermberg'e göre zekanın üç ana unsuru vardır:

1. Çözümleyici (analytic) düşünme becerisi: Çözümleme, ilişkileri anlama, karşılaştırma, yargılama,tersini bulma, değerlendirme,

2. Yaratıcı ( creative) düşünme becerisi: Genelleme, icat, yaratma, imgeleme, farklı ilişkileri algılama, olabilirleri sezinleme, soyutlama

3. Evirgen ( practice) düşünme becerisi: Kavramları gündelik yaşama uygulamak, gerçekleştirmek, sonuçlandırabilmek, var etmek.

Bu üç becerinin de oluşumunu ve gelişimini sağlayan en önemli hatta tek araç olarak matematiği görebiliriz. Bunun için matematiksel düşünce yapısını ortaya koymamız sanırım yukarıdaki iddiamızın doğruluğu konusunda bize ışık tutacaktır.

A- Matematiksel Düşünce yapısı nedir?
Matematiksel düşünce, insanların günlük yaşamlarında karşılaştıkları olaylara sistematik doğru ve çabuk yaklaşmalarıdır.

Matematiksel düşünce yapısını ele alırken iki yönlü ele almak gerekir . Birincisi bireylerin karşılaştıkları olaylara bakış ve yaklaşımları ki bu aşağıda açıklayacağım matematiksel düşüncenin bir kazanımı sonucudur.

İkinci yönü ise matematiksel düşüncenin kişilere kazandırılması konusudur. Ben esas itibari ile bunun yöntemleri ve neler yapmamız gerektiği üzerinde duracağım bunu yaparken de teorik bilimsel boyutu ile yaşadığım ve uygulamaya çalıştığım uygulamalar konusunda bilgi aktarmaya çalışacağım.

1- Olayın sunumu: Bir olaya matematiksel olarak yaklaşmak; Önce olayın sunumu (takdimi) ile başlar. Bir olayı nasıl sunacağınıza karar verirken,hedef kitlenin özelliği de göz önünde bulundurularak, olay mümkün olduğu kadar kısa fakat anlaşılabilir nitelikte ortaya konmasıdır.

2- Olayın algılanması: Bu basamak matematiksel düşünce yapısının oluşumu için en önemli unsurdur. Burada önce hedef kitlenin , ortaya konan olaydan ne anladığına bakmak gerekir. Bunu anlama yöntemleri olaylara göre farklı olabilir. Etkin (katılımlı) dinlemenin sağlanması gerekir.

Örneğin bir geometrik şekil sorusunda ,şekilde nelerin olduğu, neler anımsattığını ve verilerin neler olduğunu sonuç olarak ta neyin istendiğini hedef kitleden bir kaçına açıklattırmak koşulu ile başlayıp anlam yanlışlıklarını ve anlam çelişkilerini, yine öğrencilere gidererek olayı anlam bakımından ortaya koydurmalıyız .

Öğrenci ( hedef kitle ) orijinde olmak koşulu ile Öğretmen sadece yönlendirici olmalıdır. Bu basamakta son olarak öğretmen tüm hedef kitlenin anladığına kanaat getirmeli, olaydan algılanması gereken özü tüm hedef kitlenin genel ve doğru görüşü olarak ortaya koymalıdır. Her insan için ve her olay için bunu genellemek mümkün ancak burada daha çok okullarda kazandırılması gereken matematiksel düşünce üzerinde duracağımdan dolayı vereceğim örneklemeler de eğitim mekanları çevresinden olacaktır. Sonuç olarak olayın algılanması; olayın, beynimizde bir düşünce yaratır hale gelmesidir.

3- Olayın irdelenmesi: Olayın ne olduğu anlaşıldıktan sonra , olayın doğruluğu, yanlışlığı , diğer olaylarla ilgisi, bağlantıları ve yeni boyutlarının tartışılması ve bunlar mümkünse yazılı olarak not edilmesidir.

4- Çözüm yöntemlerinin belirlenmesi: çözüm için hangi yöntemlerin, hangi bilgilerin ve verilerin kullanılacağının belirlenmesi ve hangi sırada yada öncelikte kullanılmasına karar verilmesidir.

5- Olayın çözümlenmesi: Daha önce belirlenen yöntem ve bilgilerle olayın sonuca ulaştırılmasıdır. Matematiksel düşünce sonuç olarak kesindir ve olayın bütünüyle çelişmez. Ancak sistematik düşünce yapısı olarak sosyal alanda kullandığımız bu metot çoğu kez kesin bir sonuç vermesine rağmen, bazen de yoruma açık olayların doğru anlatılması, algılanması ve yorumlanması için de kullanılır.

6- Çözümün irdelenmesi ve sonucun belirlenmesi: Çıkan sonuç nedir? Her birey için sonucun anlamı tek midir? İstenilen sonuca ulaşılmış mıdır? Gibi soruların anlam kazanmasıdır. Ayrıca diğer yönüyle sonuca varabilmenin hazzını ve mutluluğunu yaşamaktır.

7- Gerektiği durumlarda ödevlendirme: Tekrar ödevleri, ek bilgi ödevleri ve daha önemlisi , yaratıcı ödevlerin verilmesidir. Ancak ödevler içerik ve hacim olarak öğrencinin beceri gücüne uygun olmalıdır.

Matematiksel düşünce sisteminin oluşumunu sadece bilişsel gelişim olarak ele alacağım. Ancak bu bilişsel gelişim için gerekli olan insan algılayıcılarına tıbbi boyutta değil de doğal gelişimleri yönüyle değinip, gerekli olduğu kadarıyla kısa bilgiler vereceğim.

Bebek doğduğu andan itibaren yüksek bir öğrenme potansiyeline sahiptir. Yapabildikleri , öğrendiklerine oranla azdır. Algısal beceriler yönünden; bebeklerde 2 aydan sonra gözle düzgün izleme,net görme ve ayırt etme becerisi görülür.

Yeni doğan bir çocuğun duygusal alandaki keskinliği görmesine oranla daha iyidir. Anne karnındaki 6-7 aylık bir bebeğin yüksek seslere tepki verdiğini göz önüne alırsak yeni doğan bir çocuğun yetişkinlere yakın bir keskinlikte duyabildiğini söyleyebiliriz.

Yeni bebek, tatlı , ekşi, acı, tuzlu gibi dört basit tadı algılayabildiği gibi 2. haftadan itibaren de koku almaya başlar.

Bilişsel gelişim olarak , ilk 18 ayında öğrenme, sadece algı ve hareketlerini organize hareket biçiminde düzenlemekten ibarettir. Zihinsel gelişimi ise hareket ve algılardan oluşan zeka biçimidir. Bebeğin kendi yaşamını denetleyebilmesi ve her türlü gelişimini hızlandırması için , zengin uyarıcı çevreye ihtiyacı vardır. Bebekte ayırt edici , tanıyıcı özellik 2. ayın sonunda oluşmaya ve gelişmeğe başlar. Çevresini ve kendisini algılamaya, devresel (tekrarlayıcı ) tepkiler vermeğe başlar.

6 aylıkken, dil gelişimi ile birlikte bilinçli yapılan eylemlerin doğması başlar.Bu dönemde, oyuncak oynamaya başlayan bir çocuğu, oyuncak yağmuruna tutmak , zaman içinde çocuğu duygusal doyumsuzluğa götürür.


" Bu yanlış davranış biçimi ileriki yaşlarda da gereksiz fazla kıyafet almak, fazla para vermek , haklı yada haksız her türlü istekleri yerine getirmek şeklinde devam ederse, Çocuğun bu duygusal doyumsuzluğu , dikkat dağınıklı, ilgisizlik, üzerine aldığı bir işi sonuna kadar götürememe, bir kitabı yada bir konuyu sonuna kadar okuyamama, bir problemi çözmedeki mücadele yeteneğinin gelişmemesi gibi problemleri doğurur. Olaylara bakarken ayrıntıları kaçırır, sebep ve sonuç ilişkilerini kuramaz."


Okul çağındaki bir çocuğun aile ilişkilerinin zayıfladığı , bireysel oyun yerini grup oyunlarının aldığı görülür. Sayısal bilinç artar. Çocuk okula başlarken çevresindeki nesneleri, renkleri, şekilleri tanır, kısa - uzun, büyük - küçük, kavramlarını bilerek okula başlar.

Bu dönemde, çocuğun kendi kendine yetebilmesini sağlayacak deneyimlerin sunulması, kendine güven duymayı sağlayacaktır. Öğretmenin ana amacı, çocuğu yeni oldukça karışık bir beceriyi bile öğrenebileceği bilincine vardırmak olmalıdır. Bu çocuğa güven ve yeterlilik duygusu kazandıracaktır.
Çocuk için iyi gelecek vaat eden öğretim ve eğitim metodu , öğrenci merkezli, öğretmen etkinlikli ve planlı- kontrollü sistem olmalıdır. Öğrenme şekli ise çevresel uyarıların etkisiyle ve duyular arası iletişimin iyi organizasyonu sonucundaki öğrenmedir.

Günümüz öğretmenini de tanımlayarak okul dönemine girmek yerinde olacağı kanısındayım. Öğretmen; çocuğu dinleyen, anlayan, ona yarış yerine "öğrenmeği öğreten" öğrenciği kapasitesi düzeyinde, bilgilendiren , anlayışlı ve hoş görülü olan kişidir.

''Son çocukluk'' adı verilen 6-12 yaş gelişim evresinde çocuk, ergenliğe geçiş olgunluğunu kazanmaktadır. O artık anlık itkilerini erteleyebilir ve giderek daha sağduyulu olmaya başlar. Okul öncesi dönem çocukluğundan farklı olarak, temel eğitimin ilk yılları çocuğun somut düşünme, son birkaç yılı ise soyut düşünme evresinde bulunduğu yıllardır. Bu evrede çocuk sayısal simgeler, soyut deyişler, genel kurallar ve temel mantık gibi daha soyut kavramları anlamaya başlar.

Sayı Kavramının Gelişimi
Çocuk, sayı kavramının gerçekte ne ifade ettiğini tam olarak kavramasından çok daha önce günlük söz dağarcığının bir parçası olarak sayıları kullanmaya başlar.

3 yaşına doğru, nesneleri eliyle gösterip saymaya çalıştığını bile görebilirsiniz, ama söylediği sayı doğru olmayacaktır. Bunu, 3-4 yaş dolaylarında sayı kavramı gelişiminin bir sonraki aşaması, yani eş sayıda nesneden oluşan değişik grupları eşleştirdiği evre izler. Matematiksel olarak "Küme kavramı"nın oluştuğu ve "Bire-bir eşleme" yapabildiği evredir.

Örneğin; çocuğa 4 tane mavi oyuncak küp, 5 sarı küp, 4 yeşil ve 6 tane siyah küp verin; mavi küplerden oluşan 4'Iü grubu gösterip .eş sayıda küp içeren başka bir grup bulmasını isteyin. Çocuğunuzun bunu başarıyla gerçekleştirmesi, bir sayının belli bir niceliği belirttiğini ve bir eşya grubuna karşılık geldiğini kavradığının bir göstergesidir.

Çocuğun, sayıların değişmez sabit bir sırayı izlediğini anlaması sayı kavramı gelişiminde bir sonraki aşamayı oluşturur. Ebeveyn 3 sayısının 2'den sonra geldiğini bildiği için, genellikle bunun son derece açık ve anlaşılır olduğunu düşünür. Bununla birlikte, çocuk için bu hiç de sanıldığı kadar açık ve anlaşılır değildir. Çocuk, 1 'den 5'e kadar olan sayıların sırasını diğer herhangi bir sıralamadan daha önce öğrenir.

Bu aşamada çocuk, ''küçük-büyük'' ''az-çok'' gibi nicel dili de yavaş, yavaş kavramaya başlar. Tipik bir 3 yaş çocuğu basit nitelikli büyüklük karşılaştırmaları yapabilir. Çocuğun, içi meyve suyu dolu bir büyük, bir de küçük bardak arasından büyük bardağı göstermesi istendiğinde çok fazla güçlük çekmeden bu ayrımı yapabilmesi gerekir.

4 yaşına geldiğinde, artık yeterince olgunlaşmış, gelişmiş bir sayma becerisinin ilk evresine ulaşır. Aynı türden 4 nesneyi önüne koyup, sonra da her birini eliyle göstererek sayması istendiğinde bu denemeyi başarıyla tamamlayabilir.

Çocuk ana sınıfına başladığında, 1 den 10 'a kadar (nadiren 20'ye kadar) olan sayıları bilmeli ve en azından 7'ye kadar sayabiliyor olmalıdır.

Büyük bir olasılıkla, sıradan bir güne ilişkin değişik zaman dilimleri hakkında bir fikir sahibi olacaktır; kahvaltının öğle yemeğinden önce olduğunu, akşam yemeğinin günün sonunda yendiğini bilecektir. çocuğunuz bunlara ek olarak, belirttikleri değeri pek anlayamasa da bazı bozuk paraları tanıyıp ayırt edebilir.

Soyut işlemler. ilk betimlendiği haliyle ,evre on bir-on iki yaş dolaylarında başlamakta ve yaklaşık on dört-on beş yaşlarında kararlılık kazanmaktadır.

Piaget (1969) soyut işlem düşüncesini şöyle nitelemişti: ,, ...somut olandan, burada olmayana ve geleceğe yönelik ilgi doğrultusunda kurtulma. Bu, büyük düşüncelerin ve kuramların başlamasının çağı, aynı zamanda şimdiki gerçekliğe uyum sağlamanın zamanıdır''.

Piaget bunu ayrıca şöyle de betimledi: ,, ...somut ve şimdiki gözlemlerden çıkan önermeler hakkında varsayımlar ileri sürmeyi ve akıl yürütmeyi sağlayan bir düşünce dönüşümü ,,. Başka bir deyişle, somut işlem düşüncesi evresinde olan küçük bir çocuk şimdiki zaman içindeki ''gerçek'' sorunlarla uğraşmak zorunda olduğu halde, soyut işlem düşüncesine sahip olan bir ergen, yakın çevreyi varsayımsal bir geçmişe ya da geleceğe bağlayan olası sorunlarla uğraşabilir.

Bir santranç oyununda küçük yaşlarda daha az oyun hamlesini, yaşça daha büyüdüğünüzde ise daha çok oyun hamlesini görüp oynamanız gibi, aklınızda bir dizi önermeyi -yap boz öğeleri- tutarak, soyut işlem düşüncesini uyguluyordunuz. Bu konuyu biraz daha izleyelim. Somut düzeydeki bir çocuğun nesneleri düzenlemede -renkli bloklardan açık renkten koyu renge doğru bir dizi yapmak gibi- bazı güçlükleri vardır. Ancak aynı görev fiziksel nesneler yerine sözcükler kullanılarak verildiğinde, çocuk bunu çok daha güç, hatta olanaksız bulacaktır.

Somut düzeydeki çocuklar bu problemi güç bulabilir, ama soyut işlem düşüncesini kullanmaya yetenekli olan ergenler varsayımlar kurabilir ve doğru yanıtı buluncaya kadar doğru olmayan yanıtları eleyebilirler

Piaget'nin Düşüncenin Gelişimine İlişkin Dönemleri
Dönem
Yaklaşık yaş
Betimleme
DUYU-HAREKET
Doğum-2 yaş
Bebeğin zekası çevresiyle gitgide daha uyumlu hale gelen duyu-hareket etkileşimlerinde kendini
gösterir .Bebek zihinsel düşünme ya da anlama anlamında ''bilmez'' ya da ''düşünmez''; daha
çok duyu-hareket eylemleriyle tutarlı ve akla yakın yollarla çevresinin değişik yônleri üzerinde
yaptığı işlemlerle''bilir'' ve ''düşünür.''
İŞLEM ÖNCESİ
2-6 yada 7 yaş
Bu düzeyde düşünce mantıkdışıdır ve anlık, görünür koşullara son derece bağımlıdır. Zihinsel tasarımlama şimdi olanaklı olsa da, bilgi sistemli biçimde işlenmez. Küçük çocuklar belirli
bir zamanda bir durumun yalnızca bir yönünü ele alma yeteneğine sahiptirler.
SOMUT İŞLEMLER
7-11 ya da l2 yaş

Çocuklar şimdi bilgiyi sistemli ve mantıklı biçimde işleyebilirler , ama bunu yalnızca bilgi somut biçimde verildiği zaman yapabilirler .Soyut bilgiler verildiğinde yetersiz gôrünürler. İlk-okul çağındaki çocuklar somut bir dônüşümü zihinsel olarak tersine çevirebilir ve belirli bir
zamanda bir durumun birçok yônünü ele alabilirler.
SOYUT İŞLEMLER
l2 yaş ve üzeri

Soyut işlemlere ulaşan ergenler varsayımlar kurabilir , mantıksal sonuçlar çıkarabilir ve
ister somut ister soyut biçimde sunulsun, karmaşık sorunları sistemli biçimde çôzebilirler.


Görüldüğü gibi, aslında her insanda bir matematiksel düşünce oluşmaktadır.Yeter ki doğuştan itibaren anne, baba , öğretmen ve çevre olarak çocuğun doğal gelişimi oluşturacak, onun bilişsel düşüncesini somuttan soyuta doğru geliştirebileceğimiz zengin uyarıcı çevre ve koşullarını hazırlıya bilelim.

Bu nedenledir ki "Matematik öğrenemeyecek hiçbir insan yoktur. Herkes kendi kapasitesinde , yani kazandığı işlemsel ,somut, soyut bilişsel düşünce oranında matematik öğrenebilme potansiyeline sahiptir.

Eğitimci
Bayram SEVGEN